Den tidligere Playboy-modellen hevder hun har hatt et forhold til Trump. Opptaket er nå i FBIs hender, melder avisen.
FBI tok beslag i opptaket tidligere i år under en razzia mot Cohens kontor. New York Times siterer advokater og andre kilder som kjenner til at opptaket eksisterer.
Cohen har ikke lenger noe med presidenten eller administrasjonen å gjøre. Han etterforskes for å ha betalt kvinner for å stanse historier om Trump i forkant av valgkampen i 2016.
Trump kaller kritikere hyklere etter Putin-møte
Diskuterte å kjøpe historien
Ifølge The Wall Street Journal gikk samtalen mellom Trump og hans daværende advokat ut på å kjøpe rettigheter til Playboy-modellens historie, som hun en måned tidligere hadde solgt til The National Enquirer for 150.000 dollar, tilsvarende rundt 124.000 kroner etter dagens kurs.
Tabloidavisen beholdt saken for seg selv, og unngikk at den ble offentliggjort. Leder for avisas eier, American Media, er en venn av Trump.
Trump: – Blir Putins verste fiende om forholdet ikke fungerer
Bekrefter at båndet eksisterer
Trumps nåværende advokat, Rudy Giuliani, bekrefter at opptaket eksisterer. Men han sier at det aldri ble foretatt noen betaling og at den republikanske presidenten aldri har vært innblandet i noe ulovlig.
Opptaket skal ifølge Giuliani være to minutter langt.
Trump forsterker kritikken mot sentralbanken
Hevder forhold med Trump
Den tidligere Playboy-modellen hevder at hun hadde et måneders langt forhold med Trump etter de møttes i 2006, kort tid etter at Trumps kone Melania fødte sønnen deres Barron.
På spørsmål fra pressen om påstandene, svarte Melania Trumps talskvinne Stephanie Grisham fredag at Melania fokuserer på rollen som mor og førstedame.